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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 327

La existencia de la funci´on caracter´ıstica para cualquierdistribuci´on de
probabilidad se sigue del siguiente resultado.

Proposici´ on. (Existencia). Para cualquier n´umero real t, |φ(t)| ≤ 1.
En particular, φ(0) = 1.

Demostraci´on. Para cualquier n´umero real t,

' ' '
∞ ∞ ∞
|φ(t)| = | e itx dF(x)| ≤ |e itx | dF(x)= dF(x)= 1.
−∞ −∞ −∞

De modo que φ(t)es un n´umero complejo de m´odulo menor o igual a uno,
para cualquier valor de t.Veremos a continuaci´on algunas otras propiedades
de esta importante funci´on. En particular, demostraremos que los momentos
de una variable aleatoria X pueden ser generados, cuando existen, con la f.c.
n
n
atrav´es de laf´ormula φ (n) (0) = i E(X ), y como en el caso de las funciones
generadoras anteriores, cuando X y Y son independientes se cumple que
φ X+Y (t)= φ X (t) φ Y (t), no siendo v´alido en general el rec´ıproco.

Proposici´ on.Si X tiene n-´esimo momento finito, entonces
d n B B
n
n
1. φ(t) B = i E(X ).
dt n B t=0
2. Cuando t → 0,

n−1 k n
" (it) (it)
k
n
φ(t)= E(X )+ ( E(X )+ o(1) ). (8.1)
k! n!
k=0

Demostraci´on.