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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 325
Distribuci´ on Funci´ on caracter´ ıstica
Ber(p) φ(t)= 1 − p + pe it
it n
bin(n, p) φ(t)= (1 − p + pe )
it
Poisson(λ) φ(t)= e −λ(1−e )
it
geo(p) φ(t)= p/(1 − (1 − p)e )
it
bin neg(r, p) φ(t)= [p/(1 − (1 − p)e )] r
Ahora se mostrar´a la forma de encontrar la funci´on caracter´ıstica para dos
distribuciones continuas: la distribuci´on normal y la distribuci´on gama.
2
Ejemplo.Sea X con distribuci´on N(µ, σ ). Entonces
φ(t)= E(e itX )
'
∞ 1 2 2
= e itx √ e −(x−µ) /2σ dx
2πσ 2
−∞
'
∞ 1 2 2 2 2
= √ e −(x −2x(µ−itσ )+µ )/2σ dx
2πσ 2
−∞
'
∞ 1 2 2 2
2
2 2
2
= e (−µ +(µ−itσ ) )/2σ √ e −[x−(µ−itσ )] /2σ dx
2πσ 2
−∞
2 2
= e itµ−t σ /2 .
Observe que el ´ultimo integrando es la funci´on de densidad normal con media
2
2
el n´umero complejo µ − itσ ,y varianza σ .El hecho de que esta integral
tambi´en vale uno puede comprobarse, por ejemplo, usando el principio de
