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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 339

557. Sea X con f.g.m. M X (t). Diga falso o verdadero, demuestre en cada
caso.
a) M X (t) ≥ 0.

b) M 2X (t)= M X (2t).
c) M X 2(t)= M X (tX).

558. Sea X con distribuci´on Ber(p). Demuestre que
t
a) M(t)= 1 − p + pe .
b) E(X)= p, usando M(t).
n
c) E(X )= p, usando M(t).
d)Var(X)= p(1 − p), usando M(t).

559. Sea X con distribuci´on bin(n, p). Demuestre que
t n
a) M(t)= (1 − p + pe ) .
b) E(X)= np, usando M(t).
c)Var(X)= np(1 − p), usando M(t).

560. Sean X 1 ,... ,X n independientes cada una con distribuci´on Ber(p). Use
la f.g.m. para demostrar que la variable X 1 +···+X n tiene distribuci´on
bin(n, p).

561. Sean X y Y independientes con distribuci´on bin(n, p)y bin(m, p)res-
pectivamente. Use la f.g.m. para demostrar que X + Y tiene distribu-
ci´on bin(n + m, p).
562. Sea X con distribuci´on geo(p). Demuestre que

t
a) M(t)= p/[1 − (1 − p)e ].
b) E(X)= (1 − p)/p, usando M(t).
2
c)Var(X)= (1 − p)/p , usando M(t).
563. Sea X con distribuci´on Poisson(λ). Demuestre que