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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 341

569. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on exp(λ). Use la
f.g.m. para demostrar que X + Y tiene distribuci´on gama(2, λ).
570. Sean X y Y independientes con distribuci´on gama(n, λ)y gama(m, λ)
respectivamente. Use la f.g.m. para demostrar que la variable X + Y
tiene distribuci´on gama(n + m, λ).
2
571. Sea X con distribuci´on χ (n). Demuestre que
a) M(t)= [1/(1 − 2t)] n/2 , para t< 1/2.
b) E(X)= n, usando M(t).
c)Var(X)= 2n, usando M(t).

572. Use la f.g.m. para demostrar que si X y Y son independientes tales
2
2
que X tiene distribuci´on χ (n)y X + Y tiene distribuci´on χ (m)con
2
m> n,entonces Y tiene distribuci´on χ (m − n).
2
2
573. Sean X y Y independientes con distribuci´on χ (n)y χ (m)respecti-
vamente. Use la f.g.m. para demostrar que X + Y tiene distribuci´on
2
χ (n + m).
2
574. Sea X con distribuci´on N(µ, σ ). Use la f.g.m. para demostrar que
2
a) −X tiene distribuci´on N(−µ, σ ).
2 2
b) aX + b tiene distribuci´on N(aµ + b, a σ ), con a ̸=0.
2
2
2
c)(X − µ) /σ tiene distribuci´on χ (1).
575. Sean X 1 ,... ,X n independientes tales que X k tiene f.g.m. M k (t)para
(t)= M 1 (t) ··· M n (t).
k =1,... ,n.Demuestre que M X 1 +···+X n
576. Sea X con distribuci´on Cauchy est´andar. Demuestre que

&
1 si t =0,
M X (t)=
∞ si t ̸=0.
577. Sea X con distribuci´on t(n). Demuestre que

&
1 si t =0,
M X (t)=
∞ si t ̸=0.