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342 8.4. Ejercicios

578. Sea n un n´umero natural. Demuestre que no existe la f.g.m. de la
siguiente funci´on de densidad. Esta distribuci´on tiene momentos fini-
tos de orden 1, 2,... ,n − 1, pero el n-´esimo momento y superiores no
existen.
&
n/x n+1 si x> 1,
f(x)=
0 otro caso.

Funci´on caracter´ıstica

579. Encuentre la funci´on caracter´ıstica de una variable aleatoria con fun-
ci´on de densidad
1
a) f(x)= , para x =1, 2,...
x!(e − 1)
b) f(x)= e −|x| /2, para −∞ <x < ∞.

580. Sea X con funci´on caracter´ıstica φ X (t), y sean a y b dos constantes.
Demuestre que φ aX+b (t)= e itb φ X (at).

581. Demuestre que una funci´on de distribuci´on F(x)es sim´etrica si, y s´olo
si, la correspondiente funci´on caracter´ıstica φ(t)es real.

582. Demuestre que la funci´on caracter´ıstica es una funci´on uniformemente
continua, es decir, para todo ϵ > 0 existe δ > 0 tal que para todo t y
s con |t − s| < δ,se cumple que |φ(t) − φ(s)| < ϵ.

583. Demuestre que la funci´on caracter´ıstica satisface laigualdad φ(−t)=
φ(t), en donde z denota el complejo conjugado de z.
584. Sean φ 1 (t)y φ 2 (t)dos funciones caracter´ısticas, y sea α ∈ [0, 1]. De-
muestre que la combinaci´on lineal convexa αφ 1 (t)+ (1 − α)φ 2 (t)es
una funci´on caracter´ıstica.

585. Sean X y Y independientes y con id´entica distribuci´on. Demuestre
2
que φ X−Y (t)= |φ X (t)| ,en este caso la funci´on caracter´ıstica es una
funci´on real por que la variable X − Y es sim´etrica.