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340 8.4. Ejercicios

t
a) M(t)= exp[λ(e − 1)].
t
b) M (t)= M (t)+ λe M (t).
′
′′
′
c) E(X)= λ, usando M(t).
d)Var(X)= λ, usando M(t).
3
e) E[(X − λ) ]= λ, usando M(t).
564. Sea X con distribuci´on unif(a, b). Demuestre que
bt
e − e at
a) M(t)= .
(b − a)t
b) E(X)= (a + b)/2, usando M(t).
2
c)Var(X)= (b − a) /12, usando M(t).
565. Sea X con distribuci´on exp(λ). Demuestre que

a) M(t)= λ/(λ − t), para t< λ.
b) E(X)= 1/λ, usando M(t).
2
c)Var(X)= 1/λ , usando M(t).
2
566. Sea X con distribuci´on N(µ, σ ). Demuestre que
2 2
a) M(t)= exp(µt + σ t /2).
b) E(X)= µ, usando M(t).
2
c)Var(X)= σ , usando M(t).
2
2
567. Sean X y Y independientes con distribuci´on N(µ 1 , σ )y N(µ 2 , σ )
1
2
respectivamente. Use la f.g.m. para demostrar que X + Y tiene distri-
2
2
buci´on normal con media µ 1 + µ 2 yvarianza σ + σ .
2
1
568. Sea X con distribuci´on gama(n, λ). Demuestre que
n
a) M(t)= [λ/(λ − t)] , para t< λ.
b) E(X)= n/λ, usando M(t).
2
c)Var(X)= n/λ , usando M(t).