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344 8.4. Ejercicios

591. Sea X con distribuci´on unif(−a, a). Demuestre que φ(t)= (sen at)/at.

592. Sea X con distribuci´on unif(a, b). Demuestre que
iat
a) φ(t)= [e ibt − e ]/[it(b − a)].
b) E(X)= (a + b)/2, usando φ(t).
2
c)Var(X)= (b − a) /12, usando φ(t).
2
593. Sea X con distribuci´on N(µ, σ ). Hemos demostrado que la funci´on
2 2
caracter´ıstica de esta distribuci´on es φ(t)= exp (iµt−σ t /2). Usando
2
φ(t)compruebe que E(X)= µ yVar(X)= σ .
594. Sea X con distribuci´on normal est´andar. Use la funci´on caracter´ıstica
para demostrar que para n =0, 1,...
n!
⎧
⎨ si n es par,
n
E(X )= 2 n/2 (n/2)!
⎩
0 si n es impar.
595. Sea X con distribuci´on exp(λ). Demuestre que φ(t)= λ/(λ − it). Use
2
φ(t)para comprobar que E(X)= 1/λ, yVar(X)= 1/λ .
596. Sea X con distribuci´on gama(n, λ). Hemos encontrado que la funci´on
n
caracter´ıstica de esta distribuci´on es φ(t)= [λ/(λ − it)] .Usando φ(t)
compruebe nuevamente que
a) E(X)= n/λ.
Γ(m + n)
m
b) E(X )= , para m =0, 1,...
m
λ Γ(n)
2
c)Var(X)= n/λ .
597. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on exp(λ). Use la
funci´on caracter´ıstica para demostrar que la variable X + Y tiene
distribuci´on gama(2, λ).

598. Sean X y Y independientes con distribuci´on gama(n, λ)y gama(m, λ)
respectivamente. Use la funci´on caracter´ıstica para demostrar que la
variable X + Y tiene distribuci´on gama(n + m, λ).