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Cap´ ıtulo 8. Funciones generadoras 317

Definici´ on. (Funci´ on generadora de momentos). La funci´on ge-
neradora de momentos de la variable aleatoria X es la funci´on

M(t)= E(e tX ),
definida para valores reales de t tales que la esperanza es absolutamente
convergente.

Nuevamente, cuando sea necesario especificarlo se escribe M X (t)en lugar
de M(t), y se usan las letras f.g.m. en lugar del t´ermino funci´on generadora
de momentos.La parte importante de esta funci´on es su existencia en una
vecindad no trivial alrededor del cero. Observe que la f.g.m.y la f.g.p.est´an
t
relacionadas, cuando existen, por la igualdad M(t)= G(e ).
Ejemplo.Sea X con distribuci´on gama(n, λ). Entonces la f.g.m. de X puede
calcularse de la siguiente forma.

' n−1
∞ (λx)
M(t)= e tx λe −λx dx
0 Γ(n)
' n−1
∞ [(λ − t)x]
n
= λ (λ − t) −n (λ − t)e −(λ−t)x dx
0 Γ(n)
n
=[λ/(λ − t)] .
La ´ultima integral vale uno pues el integrando es la funci´onde densidad
de una distribuci´on gama. Observe que M(t)esta definida ´unicamente para
valores de t menores que λ. !

La siguiente tabla muestra algunos otros ejemplos de funciones generadoras
de momentos para ciertas distribuciones continuas.