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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 513 — #519
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a
g) ρpX, aX ` bq“ CovpX, aX ` bq{ VarpXq VarpaX ` bq
a
“pa{|a|q CovpX, Xq{ VarpXq VarpXq
“ signopaq.

a
h) ρpX ` a, X ` bq“ CovpX ` a, X ` bq{ VarpX ` aq VarpX ` bq
a
“ CovpX, Xq{ VarpXq VarpXq
“ VarpXq{VarpXq
“ 1.

2
2
507. Recordando nuevamente que X y Y tienen distribuci´on Npµ 1 , σ q yNpµ 2 , σ q,
1 2
respectivamente, y que CovpX, Y q“ ρσ 1 σ 2 ,tenemos que:
CovpX, Y q ρσ 1 σ 2
“ “ ρ.
a) Por definici´on, ρpX, Y q“ a
VarpXqVarpY q σ 1 σ 2
b) Es inmediato verificar que si ρ “ 0, entonces fpx, yq“ f X pxqf Y pyq,
2
en donde f X pxq y f Y pyq son las funciones de densidad Npµ 1 , σ q y
1
2
Npµ 2 , σ q,respectivamente.Porotra parte, si suponemos que se cumple
2
la iguldad fpx, yq“ f X pxqf Y pyq para cualquier x y y,tomando elcaso
a a a
2 2 2
x “ µ 1 y y “ µ 2 ,tenemos que 2πσ 1 σ 2 1 ´ ρ “ 2πσ 1 2πσ .Esto
2
implica que ρ “ 0.
508. Suponga v´alida la desigualdad de Chebyshev. Entonces:
2
2
a) Pp|X ´ µ| ď ϵq“ 1 ´ Pp|X ´ µ| ą ϵq ě 1 ´ σ {ϵ .
b)Substituyendo ϵ por ϵσ en la desigualdad de Chebyshev se obtiene el
resultado.
c)Substituyendo ϵ por ϵσ en el primer inciso se obtiene el resultado.
2
2
2
509. EpZq“ ϵ PppX ´ µq ě ϵ q ď VarpXq,y de aqu´ıse sigueinmediatamente
la desigualdad de Chebyshev.
510. a)Utilice la misma t´ecnica que se us´o para demostrar la desigualdad de
Chebyshev, esta vez empiece escribiendo la definici´on de esperanza para
una variable aleatoria continua no negativa. V´ease el siguiente inciso
para una mayor ayuda.
b)
n n n
EpX q“ EpX 1 pXěϵq q` EpX 1 pXăϵq q
n
ě EpX 1 pXěϵq q
n
ě ϵ Ep1 pXěϵq q
n
“ ϵ PpX ě ϵq.

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