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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 514 — #520
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514 C. Sugerencias a los ejercicios

c)Como la funci´on ϕ es no negativa, la variable aleatoria ϕpXq es no ne-
gativa. Aplicando la desigualdad de Markov, como aparece en el primer
inciso, tenemos que

EpϕpXqq
PpϕpXq ě ϕpϵqq ď .
ϕpϵq

Las condiciones impuestas sobre ϕ garantizan que la desigualdad ϕpXq ě
ϕpϵq sea equivalente a X ě ϵ.
511. Como e tX es una variable aleatoria no negativa, tomando ϵ “ e tx en la
desigualdad de Markov (5.2) se obtiene el siguiente resultado, el cual es
equivalente a lo buscado.

Epe tX q
tx
tX
Ppe ě e q ď .
e tx
512. Por la desigualdad de Chebyshev, para cualquier ϵ ą 0,
σ 2
Pp|X ´ µ| ě ϵq ď “ 0.
ϵ 2
Esto es Pp|X ´ µ| ě ϵq“ 0para cualquier ϵ ą 0. Equivalentemente, Pp|X ´
µ| ă ϵq“ 1paracualquier ϵ ą 0. Sea ϵ 1 , ϵ 2 ,... cualquier sucesi´on mon´otona
decreciente de n´umeros no negativos tal que ϵ n Ñ 0cuando n Ñ8.Entonces
la sucesi´on de eventos A n “p|X ´ µ| ă ϵ n q es decreciente, cada elemento
tiene probabilidad uno y su l´ımite es el evento pX “ µq.Porla propiedadde
continuidad de las medidas de probabilidad, tenemos que

PpX “ µq“ Pp l´ım A n q“ l´ım PpA n q“ l´ım 1 “ 1.
nÑ8 nÑ8 nÑ8

513. Aplique la desigualdad de Markov (5.2) a la variable aleatoria no negativa
2
2
|X ´ µ| ypar´ametro ϵ para obtener la desigualdad de Chebyshev (5.1).
2
514. Es inmediato comprobar que µ “ 0y σ “ 1{9. Es decir, σ “ 1{3. Por
lo tanto, Pp|X ´ µ| ě 3σq“ Pp|X| ě 1q“ 1{9. Por otro lado, la cota
superior para esta probabilidad dada por la desigualdad de Chebyshev es
2
2
2
σ {ϵ “ σ “ 1{9.
515. a)La condici´on mencionada se escribe Ppµ ´ kσ ă X ă µ ` kσq ě 0.95
yesequivalente a Pp|X ´ µ| ě kσq ď 0.05 . Por la desigualdad de
Chebyshev, lo anterior se cumple si k es tal que Pp|X ´ µ| ě kσq ď
2
2
2
2
0.05 ď σ {pkσq “ 1{k .Esto produce la condici´on 0.05 ď 1{k ,o bien
k ě 4.47 .

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