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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 511 — #517
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i)Considere la situaci´on del Ejercicio 232 en la p´agina 174.Las varia-
bles X y Y satisfacen la igualdad EpXY q“ EpXqEpY q,es decir,
CovpX, Y q“ 0, y sin embargo X y Y no son independientes.

501. a)Para cualquier valor real de t se tiene que
0 ď ErpX ´ EpXqq ` tpY ´ EpY qqs 2
2
“ t VarpY q` 2t CovpX, Y q` VarpXq.
En consecuencia, el discriminante de esta ecuaci´on cuadr´atica debe ser
menor o igual a cero. Esto lleva a la desigualdad

2
4Cov pX, Y q´ 4VarpY qVarpXq ď 0.
2
Recordando que VarpXq ď pb ´ aq {4, se obtiene el resultado buscado.
2
Cov pX, Y q ď VarpY q VarpXq
2
2
ď ppb ´ aq {4q .
b)Tome Y “ X con PpX “ aq“ PpY “ bq“ 1{2. Entonces CovpX, Y q“
2
VarpXq“ pb ´ aq {4.
2
2
502. Recordando que X „ Npµ 1 , σ q y Y „ Npµ 2 , σ q,tenemosque:
1 2
a) EpX, Y q“ pEpXq,EpY qq “ pµ 1 ,µ 2 q.
8 8
ż ż
b)CovpX, Y q“ EpXY q´ EpXqEpY q“ xy fpx, yq dx dy ´ µ 1 µ 2 .
´8 ´8
Al considerar la integral respecto de x se completa el cuadrado en esa
variable en la expresi´on del exponente. El procedimiento essimilar al
presentado en la soluci´on del problema 463.
1 „ px ´ µ 1 q 2 2ρ ȷ
´ 2 2 ´ px ´ µ 1 qpy ´ µ 2 q
2p1 ´ ρ q σ σ 1 σ 2
1
1 ˆ px ´pµ 1 `pρσ 1 {σ 2 qpy ´ µ 2 qqq 2 ρ 2 py ´ µ 2 q 2 ˙
“´ 2 2 ´ 2 2 .
2 σ p1 ´ ρ q 1 ´ ρ σ
1 2
Entonces la integral respecto de x corresponde a la integral de x mul-
tiplicada por la funci´on de densidad normal univariada con media
2
2
µ 1 `pρσ 1 {σ 2 qpy ´µ 2 q yvarianza σ p1´ρ q.Al incorporar la constante
1
adecuada, esta integral es justamente la media µ 1 `pρσ 1 {σ 2 qpy ´ µ 2 q
yla integral respecto de y se reduce a
8
ż
rµ 1 `pρσ 1 {σ 2 qpy ´ µ 2 qs yfpyq dy,
´8

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