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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 516 — #522
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516 C. Sugerencias a los ejercicios

521. Puede usted basarse en el c´odigo de la Figura 5.2 que aparece en la p´agi-
na 372. En este c´odigo se utiliza la instrucci´on para generar valores al azar
de la distribuci´on binomial, pero eso puede f´acilmente cambiarse por la dis-
tribuci´on discreta o continua de su preferencia. Observe que el c´odigo es una
implementaci´on de la f´ormula recursiva (5.3) para la variable S n .
2
2
522. Si ˆµ yˆσ denotan los estimadores para µ y σ ,respectivamente, entonces se
pueden proponer
n n
1 ÿ 2 1 ÿ 2
ˆ µ “ x i , ˆ σ “ px i ´ ˆµq .
n n
i“1 i“1
523. Por la ley fuerte de los grandes n´umeros, cuando n Ñ8,
1 n
a ÿ c.s.
ln n X 1 ¨¨¨ X n “ ln X i Ñ Epln X 1 q“ µ,
n
i“1
x
ysiendo gpxq“ e una funci´on continua,
a c.s.
gpln n X 1 X 2 ¨¨¨ X n q Ñ gpµq.
524. Por la hip´otesis de independencia, cuando n Ñ8,
n
1 1 ÿ c.s.
´ log ppX 1 ,... ,X n q“ ´ log ppX i q Ñ Ep´ log ppX 1 qq “ HpX 1 q.
2
2
2
n n
i“1
525. Para cualquier ϵ ą 0, por la desigualdad de Chebyshev,
n n
1 ÿ 1 1 ÿ
Pp| X i ´ µ| ě ϵq ď Varp X i q
n ϵ 2 n
i“1 i“1
n
1 ÿ
“ 2 2 VarpX i q
ϵ n
i“1
c
ď 2 Ñ 0.
ϵ n
n
ř
Esto es la definici´on de la convergencia en probabilidad de la variable p1{nq X i
i“1
ala constante µ.
526. Para cualquier ϵ ą 0, por la desigualdad de Chebyshev,
n n
1 ÿ 1 1 ÿ
Pp| X i ´ µ| ě ϵq ď Varp X i qÑ 0.
n ϵ 2 n
i“1 i“1
Esta es nuevamente la definici´on de la convergencia en probabilidad de la
n
ř
variable p1{nq X i ala constante µ.
i“1

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