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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 518 — #524
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518 C. Sugerencias a los ejercicios

533. Sean X 1 ,... ,X n los resultados de los n “ 200 ensayos. Cada X i tiene dis-
tribuci´on Berppq con p “ 0.7. La totalidad de veces que ocurre el evento de
inter´es en la sucesi´on de ensayos es la variable aleatoria S n “ X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n .
Por el teorema central del l´ımite,
a a
PpS n ě 101q “ PppS n ´ npq{ npp1 ´ pq ě p101 ´ npq{ npp1 ´ pq
« PpZ ě ´4.47q« 1.

534. La frecuencia relativa es el cociente S n {n, en donde S n “ X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n ,
n “ 100 y X 1 ,... ,X 100 son v.a.s independientes con id´entica distribuci´on
Berppq, con p “ 0.3, que indican la ocurrencia o no ocurrencia del evento.
Entonces

a) Pp0.2 ď S n {n ď 0.5q
a
“ Pp´2.1821 ď pS n {n ´ pq{ pp1 ´ pq{n ď 4.3643q
« Φp4.3643q´ Φp´2.1821q« 0.9854 .
a
b) PpS n {n ě 0.4q“ PppS n {n ´ pq{ pp1 ´ pq{n ě 2.1821q
« 1 ´ Φp2.1821q« 0.0146 .
a
c) PpS n {n ď 0.35q“ PppS n {n ´ pq{ pp1 ´ pq{n ď 1.091q
« Φp1.091q« 0.8621 .

535. Sean nuevamente X 1 ,... ,X n las variables aleatorias que indican el funcio-
namiento de los condensadores, es decir, cada X i tiene distribuci´on Berppq
con p “ 0.1y n “ 50. El total de condensadores con falla durante su periodo
de garant´ıa es S n “ X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n ,cuya distribuci´on exactaes binpn, pq si
suponemos independencia entre las variables X i .Por lo tanto,
n
ř 6 ` ˘ k n´k
a) Pp3 ď S n ď 6q“ p p1 ´ pq “ 0.6584 .
k“3 k
Por otro lado,
a
Pp3 ď S n ď 6q“ Pp´0.9428 ď pS n ´ npq{ npp1 ´ pqq ď 0.4714q
« Φp0.4714q´ Φp´0.9428q« 0.5084 .
n
ř 50 ` ˘ k n´k
b) PpS n ě 7q“ p p1 ´ pq “ 0.2297 .
k“7 k
Por otro lado,
a
PpS n ě 7q“ PppS n ´ npq{ npp1 ´ pqq ě 0.9428q
« 1 ´ Φp0.9428q« 0.1729 .
n
ř 2 ` ˘ k n´k
c) PpS n ď 2q“ p p1 ´ pq “ 0.1117 .
k“0 k
Por otro lado,
a
PpS n ď 2q“ PppS n ´ npq{ npp1 ´ pqq ď ´1.4142q
« Φp´1.4142q« 0.0786 .

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