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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 515 — #521
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b)La condici´on Pp|X ´ µ| ě kσq“ 0.05 es equivalente a Pp|Z| ě kq“
0.05, o bien, 2p1 ´ Φpkqq “ 0.05, de donde se obtiene Φpkq“ 0.975, es
decir, k “ 1.96 .
2
516. a) Φpxq“ PpZ ď xq“ 1 ´ PpZ ą xq“ 1 ´ Pp|Z| ą xq{2 ě 1 ´ 1{p2x q.
2
b) Φp´xq“ PpZ ď ´xq“ p1{2qPp|Z| ą xq ď 1{p2x q.
517. Sea X con distribuci´on exppλq con λ “ 1ysea x ě 1. Puede comprobarse
que Pp|X ´ 1| ě xq“ e ´p1`xq . Por otro lado, la cota superior de Chebyshev
2
para esta probabilidad es 1{x .
2
518. No es dif´ıcil comprobar que µ “ 0y σ “ 2. El primer resultado se obtiene al
observar que fpxq es una funci´on par y para el segundo resultado se observa
que la integral correspondiente es el segundo momento de la distribuci´on
exppλq con λ “ 1. El c´alculo directo de la integral lleva a que Pp|X ´ µ| ě
2
xq“ e ´x ,ylacota superiordeChebyshev para estaprobabilidad es2{x .
519. La funciones de distribuci´on de las variables X n y X son
$
’ 0 si x ă 0, #
0 si x ă 0,
&
pxq“ nx si 0 ď x ă 1{n, F X pxq“
F X n
1 si x ě 0.
’
1 si x ě 1{n.
%
pxqÑ F X pxq cuando n Ñ8 para x ‰ 0. Si
Se necesita demostrar que F X n
x ă 0, ambas funciones se anulan y por lo tanto coinciden. Si x ą 0, existe un
n´umero natural m, suficientemente grande, tal que x ą 1{m yporlotanto,
pxq“ 1 “ Fpxq.
para n ě m, F X n
520. Demostraremos primero que la convergencia en probabilidad implica la con-
vergencia en distribuci´on. La funci´on de distribuci´on dela variable aleatoria
constante X “ c es
#
0si x ă c,
F X pxq“
1si x ě c,
pxq
cuya ´unica discontinuidad aparece en x “ c.Comprobaremos que F X n
converge a 0 para x ă c yconverge a1para x ą c.Por hip´otesis, cuando
n Ñ8 ypara cualquier ϵ ą 0, Pp|X n ´ c| ą ϵqÑ 0. Esto significa que
PpX n ą c ` ϵqÑ 0y PpX n ă c ´ ϵqÑ 0. Entonces, para cualquier x ă c,
pxq“ PpX n ď xq ď
existe ϵ ą 0tal que x ă c ´ ϵ ă c,y por lotanto F X n
PpX n ď c ´ ϵq ď PpX n ă c ´ ϵ{2qÑ 0. Para x ą c,existe ϵ ą 0tal que
pxq“ PpX n ď xq ě PpX n ď c ` ϵq“
c ă c ` ϵ ă x,ypor lotanto F X n
1 ´ PpX n ą c ` ϵqÑ 1.
Supongamos ahora que X n converge en distribuci´on a c.Entonces, para
cualquier ϵ ą 0, Pp|X n ´ c| ą ϵq“ PpX n ą c ` ϵq` PpX n ă c ´ ϵq ď
pc´ϵqÑ 1´1`0 “ 0.
1´PpX n ď c`ϵq`PpX n ď c´ϵq“ 1´F X n pc`ϵq`F X n

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