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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 512 — #518
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512 C. Sugerencias a los ejercicios

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en donde fpyq es la funci´on de densidad Npµ 2 , σ q. Es inmediato verifi-
2
car que la integral anterior es µ 1 µ 2 `ρσ 1 σ 2 .Por lotanto, CovpX, Y q“
ρσ 1 σ 2 .
c)Por el inciso anterior,

ˆ ˙ ˆ 2 ˙
VarpXq CovpX, Y q σ 1 ρσ 1 σ 2
VarpX, Y q“ “ 2 .
CovpY, Xq VarpY q ρσ 1 σ 2 σ 2
503. a)CovpX, Y q“ 0, pues X y Y son independientes.
2
b)CovpX, Y q“ p2{5q´ p5{8q “ 3{320.
504. El discriminante de la ecuaci´on cuadr´atica es necesariamente menor o igual
acero.

505. Ambas identidades son consecuencia inmediata de la aplicaci´on de la f´ormu-
la (4.3) en la p´agina 353 y del uso de las propiedades de la varianza y la
covarianza. Como estas cantidades deben ser mayores o iguales a cero, cada
uno de los par´entesis del lado derecho es mayor o igual a cero.Esto lleva a
que ´1 ď ρpX, Y q ď 1.
506. Estas identidades se siguen de las propiedades de la covarianza y la varianza.
a) ρpX, Xq“ CovpX, Xq{VarpXq“ VarpXq{VarpXq“ 1.
b) ρpX, ´Xq“ CovpX, ´Xq{VarpXq“´VarpXq{VarpXq“ ´1.
a
c) ρpX, Y q“ CovpX, Y q{ VarpXq VarpY q
a
“ CovpY, Xq{ VarpY q VarpXq“ ρpY, Xq.
a
d) ρpcX, Y q“ CovpcX, Y q{ VarpcXq VarpY q
a
“ CovpX, cY q{ VarpXq VarpcY q
“ ρpX, cY q
a
“pc{|c|q CovpX, Y q{ VarpXq VarpY q
“ signopcq ρpX, Y q.

a
e) ρpcX, cY q“ CovpcX, cY q{ VarpcXq VarpcY q
2 2 a
“pc {|c| q CovpX, Y q{ VarpXq VarpY q“ ρpX, Y q.
a
f ) ρpX ` c, Y q“ CovpX ` c, Y q{ VarpX ` cq VarpY q
a
“ CovpX, Y ` cq{ VarpXq VarpY ` cq
“ ρpX, Y ` cq
a
“ CovpX, Y q{ VarpXq VarpY q
“ ρpX, Y q.

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