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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 195 — #201
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6.6. Ejercicios 195

a) Λ 2 t 2n 1 F n t .
n 1
t
b) Λ 2 t Λ t 2 Λ t s dΛ s .
0
Encuentre adem´as Λ 2 t cuando N t : t 0 es un proceso de Poisson.

158. Sea N t : t 0 un proceso de renovaci´on. Demuestre que la funci´on
A t E W N t 1 satisface la ecuaci´on de renovaci´on

t
A t E T A t s dF s .
0

Tiempos de vida

159. Demuestre que el tiempo de vida restante γ t yel tiempo de vida
transcurrido δ t ,para un proceso de renovaci´on, tienen distribuci´on
conjunta dada por la siguiente expresi´on: para 0 y t,

t
P γ t x, δ t y 1 F t x u dΛ u .
t y

Use ahora este resultado para demostrar que en el caso cuando el
proceso de renovaci´on es el proceso de Poisson, las variables γ t y δ t
son independientes.

160. Considere el proceso de Poisson visto como un proceso de renovaci´on,
es decir, los tiempos de vida tienen distribuci´on exponencial con par´a-
metro λ.Demuestre que la funci´on de renovaci´on Λ t λt satisface
la ecuaci´on de renovaci´on

t
Λ t 1 e λt Λ t s λe λs ds.
0

161. Considere un proceso de Poisson N t : t 0 de par´ametro λ 0visto
como un proceso de renovaci´on. Para el tiempo de vida transcurrido
δ t demuestre que:

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