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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 200 — #206
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200 7. Martingalas

7.1. Filtraciones

Sea Ω, F,P un espacio de probabilidad para modelar un cierto experi-
mento aleatorio. La σ-´algebra F es la estructura que agrupa a los eventos
del experimento aleatorio a los cuales se les puede calcular su probabili-
dad. Suponga ahora que se consideran dos sub σ-´algebras F 1 y F 2 tales

que F 1 F 2 .Entonces F 2 contiene m´as informaci´on que F 1 en el sen-
tido de que, en general, un mayor n´umero de conjuntos son considerados
como eventos. M´as generalmente, puede considerarse una sucesi´on no de-

creciente de sub σ-´algebras F 1 F 2 Este tipo de estructuras surgen
de manera natural, por ejemplo, para un proceso estoc´asticoa tiempo discre-
to X n : n 1 ,pues puede construirse la sucesi´on F n n 1 de la siguiente
forma:

F n σ X 1 ,... ,X n ,
en donde efectivamente se cumple que F 1 F 2 En este caso la
σ-´algebra F n contiene los eventos para los cuales puede determinarse su
ocurrencia o no ocurrencia, s´olo con la informaci´on o historia del proceso
hasta el tiempo n.

Ejemplo 7.1 Si las variables X n : n 1 representan los resultados de
lanzar sucesivamente un dado, y si se define el evento A como “La suma de
los dos primeros resultados es mayor a 3”, entonces es claro que A F 1 ,sin
embargo A F 2 .Por supuesto, si sucede por ejemplo que X 1 4,entonces
sabemos que el evento A ocurre, pero sin esta informaci´on adicional la ocu-
rrencia o no ocurrencia del evento A no puede determinarse sino hasta el
segundo lanzamiento del dado.
Estas consideraciones sobre sucesiones no decrecientes de σ-´algebras llevan
aladefinici´onde filtraci´on.

Definici´on 7.1 Una filtraci´on es una colecci´on de σ-´algebras F n n 1 tal
que F n F m ,cuando n m.En particular, la filtraci´on natural o can´onica
de un proceso X n : n 1 es aquella sucesi´on de σ-´algebras definidas por

F n σ X 1 ,... ,X n , n 1.
Atiempo continuo las definiciones de estos conceptos son an´alogas: una
filtraci´on es una colecci´on no numerable de sub σ-´algebras F t t 0 tal que

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