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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 201 — #207
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7.1. Filtraciones 201

F s F t ,cuando 0 s t.La filtraci´on naturalo can´onica de un proceso
atiempo continuo X t : t 0 es la colecci´on de σ-´algebras F t t 0 dadas
σ X s :0 s t ,esto es, F t es la m´ınima σ-´algebra que hace
por F t
que cada una de las variables X s ,para valores de s en el intervalo 0,t ,
sean medibles. A la σ-´algebra F t se le denomina la historia del proceso al
tiempo t.Regresemos alcaso de tiempo discreto.

Definici´on 7.2 Se dice que un proceso estoc´astico X n : n 1 es adaptado
aunafiltraci´on F n n 1 si la variable X n es F n -medible, para cada n 1.

Inicialmente sabemos que cada variable aleatoria X n del proceso es F-
medible. La condici´on de adaptabilidad requiere que X n sea tambi´en una
variable aleatoria respecto de la sub σ-´algebra F n .Esta condici´on t´ecnica
de adaptabilidad facilita el c´alculo de probabilidades de los eventos de un
proceso en ciertas situaciones. Naturalmente todo proceso es adaptado a
su filtraci´on natural, y puede demostrarse que la filtraci´onnatural es la fil-
traci´on m´as peque˜na respecto de la cual el proceso es adaptado. El siguiente
caso particular es necesario de considerar.

Definici´on 7.3 Se dice que el proceso X n : n 1 es predecible respecto
de la filtraci´on F n n 0 si para cada n 1,la variable X n es F n 1 -medible.

Observe que en este caso la filtraci´on debe comenzar con el sub´ındice cero.
Evidentemente todo proceso predecible es adaptado. La definici´on de adap-
tabilidad es la misma en el caso de procesos a tiempo continuo,y se pueden
definir adem´as las siguientes dos σ-´algebras:

F σ F t ,
t 0
y F t F s .
s t

Se dice entonces que una filtraci´on es continua por la derechasi F t F t .
Si F t es una filtraci´on continua por la derecha y la σ-´algebra inicial F 0
contiene a todos los subconjuntos insignificantes de F,entonces la filtraci´on
se llama est´andar, o bien que satisface las condiciones usuales. Algunos
c´alculos requieren suponer estas hip´otesis.

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