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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 47 — #53
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3.6. Primeras visitas 47

tiene que d i d,y por lo tanto existe un entero q tal que qd i d.Ahora
se hace uso del siguiente resultado cuya demostraci´on puedeencontrarse
en [17]:

Sean n 1 ,... ,n k enteros no negativos y sea d m.c.d. n 1 ,... ,n k .
Entonces existe un entero M tal que para cada m M existen
enteros no negativos c 1 ,... ,c k tales que md c 1 n 1 c k n k .

Entonces existe un entero no negativo M tal que para cada m M, md
c 1 n 1 c k n k ,para algunos enteros c 1 ,... ,c k ,y por lo tanto,

p ii md p ii c 1 n 1 c k n k p ii c 1 n 1 p ii c k n k 0.

Por lo tanto, para cada m M, p ii md p ii mqd i 0. Defina N Mq.
Se puede entonces concluir que para toda n N, p ii nd i 0. !

Como corolario de la proposici´on anterior se tiene que si acaso es posible
pasar de i a j en m pasos, entonces tambi´en es posible tal transici´on en
m nd j pasos con n suficientemente grande, suponiendo d j 1.

Proposici´on 3.6 Si p ij m 0 para alg´un entero m,entonces existeun
entero N tal que para toda n N se cumple p ij m nd j 0.

Demostraci´on. Por el resultado anterior y por la ecuaci´on de Chapman-
Kolmogorov, para n suficientemente grande, se tiene que

p ij m nd j p ij m p jj nd j 0.

!

3.6. Primeras visitas

En ocasiones interesa estudiar el primer momento en el que unacadenade
Markov visita un estado particular o un conjunto de estados. Definiremos
acontinuaci´on este tiempoaleatorio y despu´es demostraremos una f´ormula
´util que lo relaciona con las probabilidades de transici´on.

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