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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 46 — #52
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46 3. Cadenas de Markov

Proposici´on 3.4 Si los estados i y j pertenecen a la misma clase de co-
municaci´on, entonces tienen el mismo periodo.

Demostraci´on. Claramente el resultado es v´alido para i j.Suponga
entonces que i y j son distintos. Como los estados i y j est´an en la misma
clase de comunicaci´on, existen enteros n 1y m 1tales que p ij n 0
y p ji m 0. Sea s 1un entero cualquieratal que p ii s 0. Tal
entero existe pues por la ecuaci´on de Chapman-Kolmogorov, p ii n m
p ij n p ji m 0. Esto quiere decir que d i s ylo hace de manera m´axima.
Por otro lado, nuevamente por la ecuaci´on de Chapman-Kolmogorov,

p jj n m s p ji m p ii s p ij n 0.
An´alogamente,

p jj n m 2s p ji m p ii 2s p ij n 0.

Por lo tanto d j n m s y d j n m 2s .Entonces d j divide a la
diferencia n m 2s n m s s.Por lo tanto, todo entero s 1
tal que p ii s 0cumple d j s.Pero d i divide a s de manera m´axima,
por lo tanto d i d j .De manera an´aloga, escribiendo i por j,y j por i,
se obtiene d j d i .Se concluye entonces que d i d j . !

El rec´ıproco del resultado anterior es en general falso, es decir, dos estados
pueden tener el mismo periodo y sin embargo no ser comunicantes. ¿Puede
usted dar un ejemplo de tal situaci´on? El siguiente resultado establece que
despu´es de un n´umero suficientemente grande de pasos, con probabilidad
positiva toda cadena puede regresar a cada estado i cada d i pasos. Esta
es la raz´on por la que a tal n´umero se le llama periodo.

Proposici´on 3.5 Para cada estado i,existeun entero N tal que para toda
n N,secumple p ii nd i 0.

Demostraci´on. Si p ii n 0para cada n 1, entonces d i 0y por lo
tanto la afirmaci´on es v´alida pues p ii 0 1, sin embargo la interpretaci´on
de recurrencia peri´odica no se aplica en este caso. Suponga entonces que
n 1 ,... ,n k son enteros tales que p ii n 1 0, ..., p ii n k 0. Sea d
m.c.d. n 1 ,... ,n k d i .Como d i es divisor de cada entero n 1 , ..., n k ,se

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