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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 42 — #48
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42 3. Cadenas de Markov

Los eigenvalores de esta matriz est´an dados por la ecuaci´on P λI 0,

yresultan ser λ 1 1 y λ 2 1 a b.Los correspondientes eigenvectores
escritos como vectores rengl´on son 1, 1 y a, b ,respectivamente. La ma-
triz Q est´a compuesta por los eigenvectores como columnas, y si se cumple
que a b 0,entonces es invertible, es decir,

1 a 1 b a
Q , Q 1 .
1 b a b 1 1

La matriz D es la matriz diagonal que contiene a los dos eigenvalores. Puede
entonces comprobarse la identidad P QDQ 1 ,es decir,
1 a a 1 a 1 0 1 b a
.
b 1 b 1 b 01 a b a b 1 1

Por lo tanto,

n
P n QD Q 1

1 a 1 0 b a 1
1 b 0 1 a b n 1 1 a b

1 ba 1 a b n a a
.
a b ba a b b b

Este resultado fue mencionado cuando se present´o la cadena de Markov de
dos estados en la p´agina 32.

Ejemplo 3.2 Toda matriz estoc´astica P con renglones id´enticos es idem-
potente, es decir, para cualquier entero n 1,se cumple que P n P.Este
es el caso de la cadena de variables aleatorias independientes.

3.4. Comunicaci´on

Definiremos a continuaci´on el concepto de comunicaci´on entre dos estados
de una cadena de Markov como la posibilidad de pasar de un estado a otro
en alg´un n´umero finito de transiciones.

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