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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 45 — #51
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3.5. Periodo 45

comunican entre s´ı. La cadena de la Figura 3.11 no es irreducible, pues no
se cumple que todos los estados se comuniquen.

3.5. Periodo

El periodo es un n´umero entero no negativo que se calcula paracada estado
de una cadena. Una interpretaci´on de este n´umero ser´a mencionada m´as
adelante y aparecer´a tambi´en dentro de los enunciados generales sobre el
comportamiento l´ımite de cadenas de Markov.

Definici´on 3.4 El periodo de un estado i es un n´umero entero no negativo
denotado por d i ,y definido como sigue:
d i m.c.d. n 1: p ii n 0 ,

en donde m.c.d. significa m´aximo com´un divisor. Cuando p ii n 0 para
toda n 1,se define d i 0.En particular, sedice queun estado i es
aperi´odico si d i 1. Cuando d i k 2 se dice que i es peri´odico de
periodo k.

En palabras, para calcular el periodo de un estado i se considera el conjunto
de n´umeros naturales n tales que p ii n 0y se obtiene el entero m´as grande
que divide a todos los elementos de este conjunto. Tal divisorm´aximo es
el periodo del estado i.Observe que si en elconjunto mencionado aparece
como elemento el n´umero uno, o un n´umero primo, o dos n´umeros primos
relativos, entonces el periodo es uno.

Ejemplo 3.4 Considere una cadena de Markov con diagrama de transici´on
como en la Figura 3.12. No es dif´ıcil comprobar que d 0 1, d 1 2,
d 2 2 y d 3 0.

Demostraremos a continuaci´on
que el periodo es una propiedad
de clase, es decir, todos los es- 0 1 2 3
tados de una misma clase de co-
municaci´on tienen el mismo pe-
riodo. De este modo uno puede Figura 3.12
hablar de clases de comunicaci´on
peri´odicas o clases aperi´odicas.

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