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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 49 — #55
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3.6. Primeras visitas 49

Ejemplo 3.6 Para la cadena de racha de ´exitos se tiene que

a) f 01 n q n 1 p para n 1.

b) f 00 n p n 1 q para n 1.

El siguiente resultado establece que la probabilidad de visitar el estado j,
apartir de i,en n pasos, puede descomponerse en las probabilidades de
los eventos disjuntos en los que se presenta la primera visita, la cual puede
efectuarse en el primer paso, o en el segundo paso, y as´ı sucesivamente,
hasta el ´ultimo momento posible n.

Proposici´on 3.7 Para cada n 1,

n
p ij n f ij k p jj n k . (3.2)
k 1

Demostraci´on. Defina los eventos

A 1 X n j, X 1 j, X 0 i

A 2 X n j, X 2 j, X 1 j, X 0 i
A 3 X n j, X 3 j, X 2 j, X 1 j, X 0 i
. . .

A n X n j, X n 1 j, . . . , X 2 j, X 1 j, X 0 i .
No es dif´ıcil darse cuenta que estos eventos son disjuntos y la uni´on de todos
ellos es el evento X n j, X 0 i .Adem´as, por la propiedad de Markov,
la probabilidad de cada uno de ellos es, para k 1, 2,... ,n,

P A k P X 0 i f ij k P jj n k .

Por lo tanto,
n
P X n j, X 0 i P X 0 i f ij k P jj n k .
k 1
!

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