Page 59 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 51 — #57
✐ ✐

3.7. Recurrencia y transitoriedad 51

Adem´as de la definici´on, tenemos el siguiente criterio ´util para determinar
si un estado es recurrente o transitorio.

Proposici´on 3.8 El estado i es:

a) recurrente si, y s´olo si p ii n .
n 1

b) transitorio si, y s´olo si p ii n .
n 1

Demostraci´on. Sea N i la variable aleatoria que cuenta el n´umero de
veces que el proceso regresa al estado i apartir del primer paso, es decir,

N i 1 X n i ,
n 1

cuando X 0 i.Entonces N i tiene una distribuci´on geom´etrica, pues para
k 1,

P N i k X 0 i

P N i k, X m i, X m 1 i, . . . , X 1 i X 0 i
m 1

P N i k X m i, X m 1 i, . . . , X 1 i, X 0 i
m 1
P X m i, X m 1 i, . . . , X 1 i X 0 i

P N i k 1 X 0 i f ii m
m 1
P N i k 1 X 0 i f ii
P N i k 2 X 0 i f ii 2
. . .

k 1
P N i 1 X 0 i f ii
k
f ii .

✐ ✐

✐ ✐