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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 52 — #58
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52 3. Cadenas de Markov

La esperanza de N i ,posiblemente infinita,puede calcularse de las siguientes
dos formas. Primero,

E N i X 0 i P N i k X 0 i
k 1
k
f ii
k 1
f ii
si 0 f ii 1,
1 f ii
si f ii 1.
Por otro lado, por el teorema de convergencia mon´otona,

E N i X 0 i E 1 X n i X 0 i
n 1

P X n i X 0 i
n 1
p ii n .
n 1
El resultado se sigue de igualar estas dos expresiones. !

Siguiendo con la notaci´on de la demostraci´on anterior, observe que la es-
i es el n´umero promedio de retornos al estado i,de
peranza E N i X 0
modo que un estado i es recurrente si, y s´olo si, el n´umero promedio de
retornos a ´el es infinito. En contraparte, un estado i es transitorio si, y s´olo
si, el n´umero promedio de retornos a ´el es finito.

Ejemplo 3.7 Considere una caminata aleatoria sobre Z.En el segundo ca-
p´ıtulo demostramos que n 0 00 n 1 p q .De aqu´ı hemos concluido
f
que el estado 0 es recurrente en el caso sim´etrico. Siendo la cadena irre-
ducible, la cadena toda es recurrente. Alternativamente, hemos encontrado
tambi´en la f´ormula p ii n 2 1 n ,para n par. Estimando los factoriales
n 2 2
mediante la f´ormula de Stirling: n! 2π n n 1 2 e n ,puede comprobarse
que n 0 00 n ,confirmando nuevamente la recurrencia del estado
p

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