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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 55 — #61
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3.7. Recurrencia y transitoriedad 55
Demostraci´on. Usando (3.2), y siendo todos los t´erminos no negativos,
n 1
p ij n f ij n k p jj k
n 1 n 1 k 0
f ij n k p jj k
k 0 n k 1
f ij m p jj k
k 0 m 1
f ij p jj k
k 0
p jj k
k 0
.
!
Proposici´on 3.11 Toda cadena de Markov finita tiene por lo menos un
estado recurrente.
Demostraci´on. Por contradicci´on, suponga que todos los estados son
transitorios. Entonces para cualesquiera estados i y j,se cumple que la
suma n 1 ij n es finita. Sumando sobre el conjunto finito de todos los
p
posibles estados j se obtiene
p ij n .
j n 1
Por otro lado, intercambiando el orden de las sumas se llega a la afirmaci´on
contraria,
p ij n 1 .
n 1 j n 1
Por lo tanto es err´oneo suponer que todos los estados son transitorios, debe
existir por lo menos uno que es recurrente. !
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