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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 253 — #259
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8.4. Movimiento Browniano multidimensional 253

B s adquiere la expresi´on compacta

1 x 2 2 t s
f x 1 ,... ,x n e ,
2π t s n 2

2
en donde x x 2 1 x .Como en el caso unidimensional,puede
n
n
considerarse un movimiento Browniano que inicie en x R ,y entonces
para cualquier t 0laprobabilidad de transici´on odensidad de B t es
1 2
p t, x, y e y x 2t ,
2πt n 2
que nuevamente cumple al ecuaci´on de Chapman-Kolmogorov

p t s, x, y p t, x, u p s, u, y du.
R n

El proceso de Bessel
n
Sea B t : t 0 un movimiento Browniano en R .El proceso de Bessel
es el proceso dado por

2
2
R t B t B t B t 1 2 .
1
n
Es decir, R t es la distancia Euclideana que guarda un movimiento Brow-
niano n-dimensional respecto al origen al tiempo t,y por eso se le llama a
veces movimiento Browniano radial. Se trata pues de un proceso con valores
en 0, que evidentemente tiene trayectorias continuas. Puede demostrarse
(v´ease [1]) que este proceso cumple la propiedad de Markov y que la funci´on
de probabilidades de transici´on p t, x, y puede expresarse en t´erminos de las
funciones de Bessel, y de all´ı es de donde adquiere este nombre alternativo.

Ecuaci´on de calor en dominios acotados
Vamos a enunciar sin demostraci´on un resultado que nos llevar´a a una apli-
caci´on del movimiento Browniano. Considere una regi´on abierta y acotada
n
D de R con frontera D,y suponga que la funci´on u t, x representa la
temperatura en el punto x D al tiempo t 0. La evoluci´on en el tiempo
de esta funci´on est´a dada por la ecuaci´on de calor

d
u t, x △ u t, x ,
t 2

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