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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 252 — #258
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252 8. Movimiento Browniano

8.4. Movimiento Browniano multidimensional

El movimiento Browniano que hemos estudiado con valores en R puede
n
extenderse a un proceso con valores en R de la siguiente forma.
Definici´on 8.3 Sean B 1 t ,... , B n t movimientos Brownianos inde-
n
pendientes unidimensionales. El movimiento Browniano en R es el proceso
B t B 1 t ,... ,B n t .

En la Figura 8.4 puede apreciarse la si-
mulaci´on de una trayectoria Browniana en B 2 t
2
R .En completa analog´ıa con el caso uni-
dimensional, este proceso puede definirse
de manera alternativa mediante los si-
guientes postulados. Primeramente se pi-
de que B 0 0,... , 0 casi seguramente. B 1 t
Se presupone adem´as que las trayectorias
t B t son continuas, y que el proce-
so tiene incrementos independientes. Final- Figura 8.4
mente, para cualesquiera tiempos 0 s
t,el vector B t B s tiene una distribu-
ci´on normal multivariada con media el vector de ceros 0,... , 0 ,y matriz
de covarianzas la matriz diagonal

t s σ 2 0
1
.
Var B t B s . . .
0 t s σ n 2

Es decir, la funci´on de densidad del vector B t B s es

1 x 2 t s σ 2
2
f x 1 ,... ,x n e 1 1
2π t s σ 1 2
1 2 2
e x n 2 t s σ n .
2π t s σ 2
n
Cuando los valores de los par´ametros σ son todos uno, se dice nuevamente
que el movimiento Browniano es est´andar, y la funci´on de densidad de B t

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