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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 251 — #257
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8.3. Propiedades de las trayectorias 251

implica que B t no es diferenciable en t 0. Para cada n´umero natural n
defina el evento
1 2
A n B t n, para alg´un t 0, 1 n ,
t
yobserve que A 1 A 2 Entonces,
1
P A n P B 1 n 4 n
1 n 4
1
P B 1 n 4
n 3
1
2
P n B 1 n 4 1
n
1
P B 1 1cuando n .
n
1
Hemos usado el hecho de que B 2 es tambi´en un movimiento Browniano
c c t
para cualquier c 0constante. Por lotanto P A 1 P A 2 1. Es
decir, P A n 1para cualquier n 1. !

As´ı, para cada t 0 0, el conjunto de trayectorias t B t que no son dife-
renciables en t 0 tiene probabilidad uno. Este conjunto de trayectorias puede
cambiar para cada valor de t 0 ,aunque cada una de ellas tenga probabilidad
uno. El siguiente resultado, m´as fuerte y que se enuncia sin demostraci´on,
asegura que con probabilidad uno no hay diferenciabilidad enning´un punto.
Observe que el conjunto de tiempos t 0 0no es numerable y por lotanto
la afirmaci´on no se sigue de manera obvia del resultado anterior.

Proposici´on 8.7 Con probabilidad uno, el movimiento Browniano B t :
t 0 no es diferenciable en ning´un t 0.

Las trayectorias Brownianas son entonces ejemplos de funciones, otrora con-
sideradas extra˜nas, que son continuas pero no diferenciables en ning´un pun-
to. La gr´afica de la Figura 8.2 muestra una de tales trayectorias, el zigzagueo
incesante del movimiento de la part´ıcula no permite la diferenciabilidad de
su trayectoria en ning´un punto. Este tipo de resultados son los que dan
la pauta para buscar desarrollar una teor´ıa de la diferenciabilidad de fun-
ciones un poco m´as amplia que la proporcionada por el c´alculo diferencial
tradicional.

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