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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 256 — #262
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256 8. Movimiento Browniano

aremos para demostrar la propiedad de recurrencia puntual del movimiento
Browniano unidimensional.

a
Proposici´on 8.8 (Principio de reflexi´on) Sea B : t 0 un movi-
t
miento Browniano que empieza en a,y sea b a.Para cualquier t 0,
P B a b para alg´un s 0,t 2 P B t a b . (8.5)
s
Demostraci´on. Sea τ el primer momento en el que el movimiento Brow-
niano es igual a b,es decir, sea τ ´ınf t 0: B t a b .Esta variable
aleatoria puede tomar el valor infinito si el evento mencionado nunca ocurre.
Entonces

P B a b para alg´un s 0,t P τ t
s
P τ t P τ t
P τ t .

La ´ultima igualdad se debe a que P τ t P B a b 0, por ser B t a
t
una variable aleatoria continua. Por otro lado,

P B a b P B t a b τ t P τ t
t
P B t a b 0 τ t P τ t , (8.6)

en donde, por la propiedad de Markov, y condicionada a la ocurrencia del
2
a
evento τ t ,la variable B t a b B t a B tiene distribuci´on N 0, t τ σ .
τ
Por lo tanto P B a b 0 τ t 1 2. Substituyendo en (8.6) se obtiene
t
P τ t 2 P B t a b .
!

8.6. Recurrencia y transitoriedad

En esta secci´on encontraremos la probabilidad de que el movimiento Brow-
niano eventualmente regrese a su posici´on de origen. Veremos que la res-
puesta depende de la dimensi´on del proceso. Empezaremos estudiando una
propiedad general en el caso unidimensional.

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