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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 257 — #263
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8.6. Recurrencia y transitoriedad 257

Proposici´on 8.9 Sea B t : t 0 un movimiento Browniano unidimen-
sional que inicia en cero y considere dos tiempos t 1 y t 2 tales que 0 t 1 t 2 .
Entonces,
2 t 1
P B t 0 para alg´un t t 1 ,t 2 1 arctan .
π t 2 t 1
Demostraci´on. Para cualquier u 0, mediante argumentos de traslaci´on
ypor el principio de reflexi´on se tiene que

P B t 0para alg´un t t 1 ,t 2 B t 1 u
P B t u para alg´un t 0,t 2 t 1
P B t u para alg´un t 0,t 2 t 1
u .
2 P B t 2 t 1
Por simetr´ıa se tiene la misma probabilidad para el caso u 0. Entonces,

P B t 0para alg´un t t 1 ,t 2

P B t 0para alg´un t t 1 ,t 2 B t 1 u p t 1 , 0,u du

u p t 1 , 0,u du
2 P B t 2 t 1
4 P B t 2 t 1 u p t 1 , 0,u du
0
4 p t 2 t 1 , 0,v dv p t 1 , 0,u du
0 u
1 2 1 2
4 e v 2 t 2 t 1 e u 2t 1 dv du.
0 u 2π t 2 t 1 2πt 1

Haciendo el cambio de variable x, y u t 1 ,v t 2 t 1 se obtiene la
expresi´on equivalente

1 2 2
4 e x y 2 dy dx.
0 x t 1 t 2 t 1 2π
Ahora se resuelve esta integral usando coordenadas polares.La regi´on de
integraci´on x, y : x 0y y x t 1 t 2 t 1 que se muestra en la Figu-
ra 8.7 corresponde a la regi´on polar r, θ : r 0y θ arctan t 1 , π 2 .
t 2 t 1

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