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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 258 — #264
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258 8. Movimiento Browniano

Por lo tanto la probabilidad buscada es

π 2 1 2
4 e r 2 rdrdθ
t 1 2π
arctan 0
t 2 t 1
π t 1 1 r 2
2
4 arctan e rdr
2 t 2 t 1 2π 0
2 t 1
1 arctan .
π t 2 t 1
!

y t 1 x
t 2 t 1

θ arctan t 1
t 2 t 1
x

Figura 8.7

Con ayuda de este resultado demostramos ahora la recurrenciapuntual del
movimiento Browniano unidimensional.

Proposici´on 8.10 (Recurrencia puntual del movimiento Brownia-
no unidimensional) Con probabilidad uno el movimiento Browniano uni-
dimensional es recurrente puntual, es decir, regresa a su posici´on de origen
una infinidad de veces casi seguramente.

Demostraci´on. Haciendo t 2 tender a infinito en la f´ormula reci´en de-
mostrada e intercambiando el l´ımite con la probabilidad, locual es v´alido,
pues la sucesi´on de eventos es creciente, se obtiene que paracualquier valor
positivo de t 1 ,
2 t 1
P B t 0para alg´un t t 1 , l´ım 1 arctan 1.
t 2 π t 2 t 1

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