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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 261 — #267
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8.6. Recurrencia y transitoriedad 261

La funci´on f x satisface la ecuaci´on diferencial

∆f x 0, (8.7)

con condiciones de frontera
1si y r 2 ,
f y g y
0si y r 1 .

Dada la simetr´ıa del movimiento Browniano, la funci´on f x depende de x
s´olo a trav´es de la magnitud x .Sea entonces f x φ x para alguna
funci´on φ r con r x .En este caso particular, conviene escribir al
operador de Laplace en coordenadas esf´ericas adquiriendo la expresi´on

1 d d
∆φ r n 1 φ
r n 1 dr dr
d 2 n 1 d
φ φ.
dr 2 r dr

Por lo tanto, la ecuaci´on (8.7) se escribe
n 1
φ r φ r 0, para r r 1 ,r 2 ,
r

ylas nuevas condiciones de frontera son φ r 2 1y φ r 1 0. La soluci´on
general de esta ecuaci´on es

c 1 ln r c 2 si n 2,
φ r
c 1 r 2 n c 2 si n 3,

con c 1 y c 2 constantes. Usando ahora las condiciones de frontera se obtiene

ln x ln r 1
φ x si n 2, (8.8)
ln r 2 ln r 1
r 2 n x 2 n
φ x 1 si n 3. (8.9)
r 2 n r 2 n
1 2
Estos resultados nos permitir´an encontrar las probabilidades buscadas toman-
do algunos l´ımites sobre los radios r 1 y r 2 .Para el caso n 2, la probabilidad

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