Page 256 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 248 — #254
✐ ✐

248 8. Movimiento Browniano

8.3. Propiedades de las trayectorias

Antes de establecer las siguientes propiedades, recordemosla definici´on de
variaci´on de una funci´on. Sea a t 0 t 1 t n b una partici´on
del intervalo a, b ,y defina ∆t m´ax t i 1 t i : i 0,... ,n 1 .La
variaci´on de una funci´on g : a, b R es el n´umero
n 1
l´ım sup g t i 1 g t i .
∆t 0 i 0

Cuando este n´umero es finito se dice que la funci´on tiene variaci´on finita en
dicho intervalo. An´alogamente, la variaci´on cuadr´aticaes

n 1
l´ım sup g t i 1 g t i 2 .
∆t 0
i 0
Demostraremos a continuaci´on que sobre un intervalo de tiempo acotado
a, b ,casitodas las trayectorias del movimiento Browniano tienen variaci´on
no acotada, esto es,

n 1
l´ım sup B t i 1 B t i c.s.
∆t 0
i 1
Esta propiedad es particularmente importante pues tiene como consecuen-
cia el hecho de que no se pueden usar las trayectorias Brownianas como
funciones integradoras en el sentido de Riemann-Stieltjes.El hecho de que
se desee definir alg´un tipo de integral respecto del movimiento Browniano
ser´a claro en el siguiente cap´ıtulo cuando se estudian ecuaciones diferen-
ciales estoc´asticas. Por otro lado, demostraremos tambi´en que la variaci´on
cuadr´atica del movimiento Browniano sobre a, b es finita, de hecho, es la
longitud del intervalo en cuesti´on.

Proposici´on 8.4 La variaci´on cuadr´atica de una trayectoria del movimien-
to Browniano sobre el intervalo a, b es la longitud del intervalo, es decir,

n 1
2
l´ım sup B t i 1 B t i 2 b a, en el sentido L P .
∆t 0 i 1

✐ ✐

✐ ✐