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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 245 — #251
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8.2. Propiedades b´ asicas 245

Demostraci´on. Para cualesquiera tiempos 0 t 1 t 2 t n t n 1 ,
ypara cualquier evento A en R,

P B t n 1 A B t 1 x 1 ,... ,B t n x n
p t 1 , 0,x 1 p t 2 t 1 ,x 1 ,x 2 p t n t n 1 ,x n 1 ,x n p t n 1 t n ,x n ,A
p t 1 , 0,x 1 p t 2 t 1 ,x 1 ,x 2 p t n t n 1 ,x n 1 ,x n
p t n 1 t n ,x n ,A
p t n , 0,x n
p t n 1 t n ,x n ,A
p t n , 0,x n
x n .
P B t n 1 A B t n
!

Puede demostrarse que cumple adem´as la propiedad fuerte de Markov: si
τ es un tiempo de paro respecto de la filtraci´on del movimiento Brownia-

no, entonces el proceso B τ t B τ : t 0 es tambi´en un movimiento
Browniano y es independiente de la σ-´algebra

F τ A F : A τ t F t para cada t 0 .

: t 0 es un
En particular, cuando τ es constante t 0 ,el proceso B t 0 t B t 0
movimiento Browniano. Como una consecuencia del hecho de quelos incre-
mentos de este proceso son independientes, demostraremos a continuaci´on
la propiedad de martingala.

Proposici´on 8.3 El movimiento Browniano es una martingala continua.

Demostraci´on. Claramente el proceso es adaptado a su filtraci´on natu-
ral y cada variable aleatoria del proceso es integrable. Por otro lado, para
cualesquiera tiempos s y t tales que 0 s t,

E B t F s E B t B s B s F s
E B t B s F s E B s F s
E B t B s B s
B s .

!

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