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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 249 — #255
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8.3. Propiedades de las trayectorias 249

Demostraci´on. Sea P n : n 1 una sucesi´on de particiones finitas

del intervalo a, b .Denote por ∆t i el incremento t i 1 t i ,y sea ∆B i la
.Entonces
diferencia B t i 1 B t i
E ∆B i 2 b a 2
i
E ∆B i 2 ∆B j 2 2 b a E ∆B i 2 b a 2
i,j i
4 2 2 2
E ∆B i E ∆B i E ∆B j 2 b a ∆t i b a
i i j i
2 2
3 ∆t i ∆t i ∆t j b a
i i j
2 2 2
2 ∆t i ∆t i b a
i i
2
2 ∆t i
i
2 b a m´ax ∆t i 0.
0 i n
!

Recordemos ahora el resultado que establece que toda toda sucesi´on con-
2
vergente en el sentido L P tiene una subsucesi´on convergente casi segu-
: k 1
ramente. Por lo tanto existe una subsucesi´on de particiones P n k
del intervalo a, b tal que

n 1
l´ım sup B t i 1 B t i 2 b a, c.s.
∆t 0
i 1
Proposici´on 8.5 (Variaci´on del movimiento Browniano) La variaci´on
de una trayectoria del movimiento Browniano sobre el intervalo a, b es in-
finita, casi seguramente, es decir,

n 1
l´ım sup B t i 1 B t i , c.s.
∆t 0 i 1
Demostraci´on. Para cada n natural sea P n la partici´on uniforme del
intervalo a, b en n subintervalos, es decir cada incremento ∆t i t i 1 t i

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