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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 244 — #250
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244 8. Movimiento Browniano

origen. Integrando directamente puede comprobarse que la probabilidad de
transici´on p t, x, y cumple la ecuaci´on de Chapman-Kolmogorov,

p t s, x, y p t, x, u p s, u, y du,

ytambi´en cumple la ecuaci´on de difusi´on o ecuaci´on de calor,

p 1 2 p
.
t 2 x 2

En uno de sus trabajos de 1905 y a trav´es de consideraciones te´oricas f´ısicas,
Einstein encontr´o que la probabilidad de transici´on p t, x, y satisface la
ecuaci´on de difusi´on y a partir de all´ı dedujo la expresi´on Gausiana para
esta probabilidad.

8.2. Propiedades b´asicas

Tenemos entonces que para el movimiento Browniano est´andarcada va-
riable aleatoria B t tiene distribuci´on N 0,t ypor lo tanto E B t 0y
Var B t E B t 2 t.En particular E B t B s 2 t s,para 0 s t.
El movimiento Browniano f´ısico real se presenta en tres dimensiones y es
completamente err´atico. En la Figura 8.2 se puede apreciar una posible
trayectoria Browniana cuando ´esta
se proyecta sobre una de sus coorde- B t ω
nadas. Esta gr´afica fue generada en
computadora y es s´olo una aproxi-
maci´on del modelo matem´atico. En
la gr´afica pueden apreciarse algunas t
peque˜nas partes en donde aparente-
mente el comportamiento es lineal
ysuave, ello no sucede en el mo- Figura 8.2
delo te´orico. Usando esta probabili-
dad de transici´on demostraremos a
continuaci´on que el movimiento Browniano cumple la propiedad de Markov
en el sentido d´ebil.

Proposici´on 8.2 El movimiento Browniano es un proceso de Markov.

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