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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 241 — #247
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8.1. Definici´ on 241

Las condiciones que aparecen en esta definici´on son consecuencia directa de
las observaciones del fen´omeno f´ısico, pero eso no garantiza que tal objeto
matem´atico exista. En 1923 el matem´atico estadunidense Norbert Wiener
demostr´o la existencia y unicidad de un proceso con tales condiciones. Es
por esta raz´on que a menudo a este proceso tambi´en se le llamaproceso
de Wiener, y se le denota tambi´en por W t : t 0 .En sentido estricto,
el movimiento Browniano es el fen´omeno f´ısico, mientras que su modelo
matem´atico es el proceso de Wiener, aunque es com´un llamar aambas
cosas por el mismo nombre: movimiento Browniano. Observe quela cuarta
propiedad que aparece en la definici´on anterior establece impl´ıcitamente que
los incrementos son estacionarios. Demostraremos a continuaci´on que las
condiciones 3 y 4 de la definici´on anterior son equivalentes a solicitar que
las distribuciones finito dimensionales del proceso sean lasque se especifican
acontinuaci´on.

Definici´on 8.2 (Segunda definici´on) Un movimiento Browniano uni-
2
dimensional de par´ametro σ es un proceso estoc´astico B t : t 0 con
valores en R que cumple las siguientes propiedades.

1. B 0 0 c.s.
2. Las trayectorias t B t son continuas.

3. Para cualesquiera tiempos 0 t 1 t n ,y para cualesquiera
conjuntos de Borel A 1 ,... ,A n de R,secumple quela probabilidad

P B t 1 A 1 ,... ,B t n A n
es igual a

p t 1 , 0,x 1 p t 2 t 1 ,x 1 ,x 2 p t n t n 1 ,x n 1 ,x n dx n dx 1 ,
A 1 A n
en donde
1 2 2
p t, x, y e y x 2σ t . (8.1)
2
2πσ t
Observe que la tercera propiedad de la ´ultima definici´on establece que la fun-
ci´on de densidad del vector B t 1 ,... ,B t n evaluada en el punto x 1 ,... ,x n
es
p t 1 , 0,x 1 p t 2 t 1 ,x 1 ,x 2 p t n t n 1 ,x n 1 ,x n .

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