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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 176 — #182
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176 6. Procesos de renovaci´ on y confiabilidad

La segunda igualdad puede obtenerse despu´es de aplicar integraci´on por
partes varias veces. A partir de esta expresi´on puede recuperarse la dis-
tribuci´on Poisson pues por la Proposici´on 6.1,

λt n
n 1
n
λt
P N t n F t F t e .
n!
Del mismo modo que sucedi´o en el caso del proceso de Poisson, para un
proceso de renovaci´on tambi´en es v´alida la igualdad de eventos N t n
W n t ,para t 0y para n 0entero. Estaidentidad nos ser´ade
utilidad m´as adelante.

6.2. Funci´on y ecuaci´on de renovaci´on

Otra de las funciones que es natural desear conocer en un proceso de reno-
vaci´on es el n´umero promedio de renovaciones efectuadas hasta un tiempo t
cualquiera. A tal funci´on se le llama funci´on de renovaci´on, y se le denota
por Λ t ,es decir, Λ t E N t .En generaltampoco es f´acilencontrar una
forma expl´ıcita para esta funci´on. Sin embargo, se cuenta con la siguiente
ecuaci´on integral general.

Proposici´on 6.2 La funci´on de renovaci´on Λ t satisface la ecuaci´on

t
Λ t F t Λ t s dF s . (6.1)
0

Demostraci´on. Condicionando sobre el valor del primer tiempo de vida
T 1 se obtiene Λ t E N t T 1 s dF s ,en donde
0

0 si s t,
E N t T 1 s
1 Λ t s si s t.
Por lo tanto

t t
Λ t 1 Λ t s dF s F t Λ t s dF s .
0 0
!

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