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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 175 — #181
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6.1. Procesos de renovaci´ on 175

Una de las primeras preguntas que uno puede hacerse acerca de un proceso
de renovaci´on es la de conocer la distribuci´on de la variable N t .La respuesta
no es f´acil de encontrar, pues la distribuci´on de esta variable depende de la
distribuci´on de los tiempos de vida como indica la siguientef´ormula general.

Proposici´on 6.1 Para cualquier n 0,

P N t n F n t F n 1 t .

Demostraci´on. Tomando en consideraci´on que las variables W n y T n 1
son independientes, tenemos que

P N t n P W n t, W n 1 t
P W n t, W n T n 1 t
P t T n 1 W n t
t t
F W n F W n T n 1
F n t F t u u dF u
W n T n 1
0
F n t F n t u dF u
0
F n t F n 1 t .

!

En muy pocos casos es posible encontrar la distribuci´on expl´ıcita del n´umero
de renovaciones N t .En elcaso cuando los tiempo de vida son exponenciales
sabemos que la respuesta es la distribuci´on Poisson.

Ejemplo 6.1 Un proceso de Poisson homog´eneo de tasa λ es un proce-
so de renovaci´on en donde los tiempos de vida tienen distribuci´on exp(λ).
En consecuencia, los tiempos reales de renovaci´on W n tienen distribuci´on
gama(n, λ), cuya funci´on de distribuci´on es, para t 0,

t λx n 1 λt k
t λ e λx dx e λt .
F W n Γ n k!
0 k n

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