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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 177 — #183
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6.2. Funci´ on y ecuaci´ on de renovaci´ on 177

Observe que la ecuaci´on (6.1) puede escribirse como Λ t F t Λ F t .
Debido a que se condiciona sobre el valor del primer tiempo de renovaci´on,
ala t´ecnica de lademostraci´on de este resultadose le llamaaveces an´alisis
del primer paso o se dice tambi´en que se ha utilizado un argumento de
renovaci´on, pues es muy frecuente su uso en el c´alculo de probabilidades
de ciertos eventos en los procesos de renovaci´on. M´as adelante tendremos
oportunidad de usar nuevamente esta t´ecnica.

Ejemplo 6.2 Para el proceso de Poisson, el promedio de renovaciones o
saltos al tiempo t es Λ t λt.Puede comprobarse directamente que esta
funci´on satisface (6.1) con F t 1 e λt , t 0.

Auna ecuaci´on integral deltipo (6.1) se le llama ecuaci´on de renovaci´on,
pues algunas funciones de inter´es en la teor´ıa de la renovaci´on la cumplen.
La definici´on general se incluye a continuaci´on.

Definici´on 6.3 Sean F t , g t y h t funciones definidas para t 0.
Suponga que F t y h t son conocidas, y g t es desconocida. Se dice que
g t satisface una ecuaci´on de renovaci´on si cumple la ecuaci´on integral

t
g t h t g t s dF s . (6.2)
0
Puede demostrarse que si h t es una funci´on acotada, entonces existe una
´unica soluci´on g t ala ecuaci´on de renovaci´on (6.2) que cumple conla
condici´on de ser acotada sobre intervalos finitos y est´a dada expl´ıcitamente
por
t
g t h t h t s dΛ s , (6.3)
0
en donde Λ s es la funci´on de renovaci´on. La demostraci´on de este resultado
general puede ser encontrado en el texto de Karlin y Taylor [17]. Acerca de
la funci´on de renovaci´on tenemos la siguiente expresi´on general.

Proposici´on 6.3 Para cualquier t 0,

Λ t F n t . (6.4)
n 1

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