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a) X −1 B = A.

c
c
b) X −1 (B )= (X −1 B) .
c) Si B 1 ⊆ B 2 ,entonces X −1 B 1 ⊆ X −1 B 2 .
d) X −1 (B 2 − B 1 )= X −1 B 2 − X −1 B 1 .

e) X −1 ( $ ∞ B k )= $ ∞ X −1 B k .
k=1
k=1
f) X −1 ( % ∞ B k )= % ∞ X −1 B k .
k=1
k=1
g) X(X −1 B) ⊆ B,la igualdad se cumple si, y s´olo si, X es sobre.

h) A ⊆ X −1 (XA), la igualdad se cumple si, y s´olo si, X es inyectiva.

Si se tienen dos funciones X : A → B y Y : B → C,entonces para cualquier
subconjunto C de C,se cumple (X ◦ Y ) −1 C = X −1 (Y −1 C).

Funci´on indicadora

La funci´on indicadora de un conjunto A ⊆ Ω es la funci´on 1 A : Ω → {0, 1}
dada por

&
1si ω ∈ A,
1 A (ω)=
0si ω /∈ A.

De este modo la funci´on 1 A toma el valor uno dentro del conjunto A,y cero
fuera de ´el. Es sencillo verificar que esta funci´on resulta ser una variable
aleatoria si, y s´olo si, el conjunto A es un evento. La funci´on indicadora
cumple, entre otras, las siguientes propiedades:

a) 1 A∪B =m´ax {1 A , 1 B } =1 A +1 B − 1 A · 1 B .