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Ap´ endice B. Conceptos y resultados varios 377

b) 1 A∩B =m´ın {1 A , 1 B } =1 A · 1 B .

c) 1 A =1 − 1 A .
c
d) 1 A−B =1 A − 1 A · 1 B .
2
e) 1 A△B = |1 A − 1 B | = |1 A − 1 B | =1 A +1 B − 2 · 1 A · 1 B .
f) Si A ⊆ B,entonces 1 A ≤ 1 B .

Esperanza condicional

Sea (Ω, F)un espacio medible. Sean P y Q dos medidas de probabilidad.
Se dice que Q es absolutamente continua respecto de P si cada vez que
P(A)= 0, necesariamente Q(A)= 0 para cada A en F.En talcaso se
escribe Q ≪ P.

Teorema de Radon-Nikodym. Si Q ≪ P,entonces existe una variable
aleatoria integrable ξ que es ´unica P-casi seguramente, y es tal que para
cada evento A,
'
Q(A)= ξ dP.
A
Se escribe ξ = dQ/dP yse le llama la derivada de Radon-Nikodym.

Con ayuda de este teorema es f´acil demostrar la existencia y unicidad de la
esperanza condicional. Sea (Ω, F,P)un espacio de probabilidad, sea X una
variable aleatoria integrable, y sea G ⊆ F una sub σ-´algebra. Para cada A
en G defina
'
Q(A)= XdP.
A
Puede comprobarse que Q ≪ P cuando P se restringe a la σ-´algebra G .
El teorema de Radon-Nikodym garantiza entonces la existencia y unicidad
P-casi segura de una variable aleatoria G -medible ξ tal que para cada A en