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G ,
' '
XdP = ξ dP,
A A
Ala variable ξ le hemos denotado por E(X | G ). He aqui una lista de algunas
de sus propiedades.

1. E(X | G )es G -medible y tiene esperanza finita.

' '
2. E(X | G ) dP = XdP, para cualquier G ∈ G .
G G
3. E(E(X | G )) = E(X).

4. E(X |{∅, Ω} )= E(X).
5. Si B es un evento tal que 0 <P(B) < 1, entonces
c
c
E(1 A |{∅,B,B , Ω} )= P(A | B)1 B + P(A | B )1 B .
c
6. Si B 1 ,... ,B n es una partici´on de Ω tal que cada elemento tiene pro-
babilidad estrictamente positiva, entonces
.
E(X | σ{B 1 ,... ,B n })= E(X | B 1 ) · 1 B 1 + ··· + E(X | B n ) · 1 B n
7. E(αX + Y | G )= α E(X | G )+ E(Y | G ).

8. Si X ≥ 0, entonces E(X | G ) ≥ 0.

9. Si X ≤ Y ,entonces E(X | G ) ≤ E(Y | G ).
10. | E(X | G ) | ≤ E( |X|| G ).

11. E |E(X | G )| ≤ E(|X|).

12. Caso discreto. Si Y toma los valores y 1 ,y 2 ,... con probabilidad es-
(
trictamente positiva, entonces E(X | Y )= ∞ E(X | Y = y i )1 .
i=1 (Y =y i )
13. Caso abs. continuo. Si ω es tal que Y (ω)= y,entonces

'
∞
E(X | Y )(ω)= xdF X|Y (x|y), cuando f Y (y) ̸=0.
−∞