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Ap´ endice B. Conceptos y resultados varios 379

14. Si G 1 ⊆ G 2 ,entonces E(E(X | G 1 ) | G 2 )= E(E(X | G 2 ) | G 1 )= E(X | G 1 ).

15. Si X es independiente de G ,entonces E(X | G )= E(X).

16. Si X es G -medible, entonces E(X | G )= X.
En particular, E(c | G )= c.

17. Si G 1 y G 2 son independientes, entonces
E(X | σ(G 1 ∪ G 2 )) = E(X | G 1 )+ E(X | G 2 ) − E(X).
Si adem´as X es independiente de G 2 ,entonces
E(X | σ(G 1 ∪ G 2 )) = E(X | G 1 ).

m m
18. Si X n −→ X,entonces E(X n | G ) −→ E(X | G ).
19. Teorema de convergencia mon´ otona. Si X n ≥ 0y X n ↗ X
c.s., entonces E(X n | G ) ↗ E(X | G )c.s.
20. Si XY es integrable y X es G -medible, entonces E(XY | G )= XE(Y | G ).

21. X es independiente de G si, y s´olo si, E(f(X) | G )= E(f(X)) para
cualquier funci´on Lebesgue medible f tal que f(X)es integrable.

22. Desigualdad de Jensen. Si u es convexa y u(X)es integrable,
entonces u(E(X | G )) ≤ E(u(X) | G ).