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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 303 — #309
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9.5. Algunos modelos particulares 303

sumando desaparece. De modo que, por la isometr´ıa de Itˆo,

s 1
Cov X s ,X t 1 s 1 t E dB u 2
0 1 u
s 1
1 s 1 t 2 du
0 1 u
1 s
1 s 1 t
1 u
0
s 1 t .

!

Como era de esperarse, la varianza se anula en los extremos delinterva-
lo pues all´ı el proceso es cero con probabilidad uno. Observeadem´as que
la varianza se hace m´axima exactamente en la mitad de dicho intervalo.
El puente Browniano en 0, 1 puede representarse de varias formas, por
ejemplo, se conocen las siguientes representaciones m´as compactas:

a) X t B t tB 1 , para t 0, 1 .

b) X t B 1 t 1 t B 1 , para t 0, 1 .

Notas y referencias. Para el desarrollo de la definici´on de integral es-
toc´astica respecto del movimiento Browniano hemos seguidoel lineamiento
general presentado en el texto de Steele [33]. All´ı pueden encontrarse las
demostraciones completas de varios de los resultados que hemos solamente
enunciado. Otros trabajos en donde pueden encontrarse exposiciones ele-
mentales sobre integraci´on estoc´astica son Øksendal [25], Kuo [20], o Kle-
baner [18]. Para una exposici´on m´as completa y general puede consultarse
por ejemplo Protter [26] o Revuz y Yor [28]. En los trabajos de D. J Higham
como [13] pueden encontrarse algunas primeras lecturas sobre los m´etodos
para simular ecuaciones estoc´asticas. En el texto de Kloeden y Platen [19] se
expone la teor´ıa general, varios m´etodos num´ericos y diversas aplicaciones
de ecuaciones estoc´asticas.

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