Page 309 - flip-procesos

✐ ✐

“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 301 — #307
✐ ✐

9.5. Algunos modelos particulares 301

yque puede ser representado de la siguiente forma

t 1
1 t dB s . (9.19)
X t
0 1 s
Los coeficientes de la ecuaci´on
(9.18) son X t ω
x
b t, x
1 t
y σ t, x 1, t
1
que cumplen las condiciones del
teorema de existencia y unici-
dad. Puede resolverse la ecuaci´on Figura 9.8
(9.18) y obtener la representaci´on
(9.19) proponiendo nuevamente
una soluci´on de la forma

t
X t a t x 0 b s dB s , (9.20)
0
en donde a t y b t son dos funciones diferenciables, y x 0 0. Derivando
se obtiene nuevamente
t
dX t a t x 0 b s dB s dt a t b t dB t
0
a t
X t dt a t b t dB t .
a t

Igualando coeficientes se obtienen las ecuaciones a t a t 1 1 t ,
y a t b t 1. Suponiendo a 0 1se obtiene a t 1 t,y por lo
tanto b t 1 1 t .Substituyendo en (9.20) se obtiene (9.19). Puede
demostrarse que
l´ım X t 0,
t 1
yentonces efectivamente el puente Browniano se anula al finaldelintervalo.
Vamos a calcular a continuaci´on la esperanza, varianza y covarianza de este
proceso.

✐ ✐

✐ ✐