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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 297 — #303
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9.5. Algunos modelos particulares 297

2. Ahora calcularemos la varianza.

1 2
Var X t Var x 0 exp µ σ t σB t
2
1
2
2
x exp 2 µ σ t Var exp σB t
0
2
1
2
2
2
x exp 2 µ σ t E exp 2σB t E exp σB t
0
2
1 1 1
2
2
x exp 2 µ σ t exp t 2σ 2 exp 2 tσ 2
0
2 2 2
2
2 2µt
x e e σ t 1 .
0
3. Calcularemos primero E X t X s .Observe que B t B s se puede escribir
B s ,siendo estos sumandos independientes. Entonces,
como 2B s B t
1 2
2
E X t X s E x exp µ σ t s σ B t B s
0
2
1
2
x exp µ σ 2 t s E exp σ B t B s
0
2
1
2
x exp µ 2 σ 2 t s E e 2σB s E e σ B t B s
0
1 2 1 2
2
x exp µ 2 σ 2 t s e 2sσ e 2 t s σ
0
2
2
x exp µ t s sσ .
0
Por lo tanto,
Cov X t ,X s E X t X s E X t E X s
2 µ t s
2 µ t s
x e sσ 2 x e
0
0
2 µ t s
x e e sσ 2 1
0
!
Proceso de Ornstein-Uhlenbeck
Este modelo fue propuesto por Ornstein y Uhlenbeck para modelar la ve-
locidad del movimiento difuso de una part´ıcula en intervalos de tiempo
peque˜nos.

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