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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 293 — #299
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9.4. Simulaci´ on 293

t
De la primera ecuaci´on se obtiene f t, x e x c t .Substituyendo en
la segunda ecuaci´on y simplificando se obtiene c t c t ,cuya soluci´on
t
es c t ce ,en donde c es una constante. Por lo tanto f t, x e t x
c .Para que el proceso X t f t, B t e t B t c cumpla la condici´on
inicial X 0 0 forzosamente la constante c debe ser cero. De esta forma la
t
funci´on buscada es f t, x e x. En tal caso la f´ormula de Itˆo asegura que
efectivamente,
t
dX t e B t dt e t dB t
X t dt e t dB t .

9.4. Simulaci´on

Una ecuaci´on estoc´astica ha resultado muy ´util para modelar sistemas que
presentan alg´un tipo de ruido o perturbaci´on aleatoria. Aplicaciones de tales
modelos se estudian en ingenier´ıa, finanzas y f´ısica entre muchas otras ´areas
del conocimiento. Debido a la imposibilidad de encontrar soluciones ex-
pl´ıcitas a ciertas ecuaciones de inter´es, los m´etodos num´ericos del caso de-
terminista se han extendido al caso estoc´astico. En las siguientes secciones
presentaremos algunos modelos particulares de ecuaciones estoc´asticas, y ex-
plicaremos un mecanismo para simular las trayectorias del proceso soluci´on.
Una trayectoria de un proceso X t : t 0 que sigue la ley de movimiento
de una ecuaci´on estoc´astica de la forma:

dX t b t, X t dt σ t, X t dB t ,
X 0 x 0 ,
puede obtenerse mediante el m´etodo de discretizaci´on de Euler-Maruyama.
En este procedimiento se divide el intervalo 0,t de manera uniforme en
n subintervalos de id´entica longitud ∆t t n,y se define t j j∆t para
j 0, 1, 2,... ,N.Suponiendo que Y j es un valor al azar de la distribuci´on
normal est´andar, se definen los valores sucesivos de la trayectoria soluci´on
de la ecuaci´on estoc´astica como sigue:
X 0 x 0 ,
∆t ∆tY j .
X t j 1 X t j b t j ,X t j σ t j ,X t j
M´as adelante se presentar´a una implementaci´on de este procedimiento en
MATLAB para simular trayectorias de soluciones de ecuaciones particulares.

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