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“ProcesosMathBookFC” — 2012/2/2 — 10:58 — page 288 — #294
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288 9. C´ alculo estoc´ astico

Es decir,
t 1 1
B s dB s B 2 t.
t
0 2 2
Este resultado hab´ıa sido encontrado antes, ahora lo hemos obtenido de
manera inmediata a partir de la f´ormula de Itˆo. De manera an´aloga, para
x se obtiene
la funci´on f x 1 3
3
t 1 t
2 3
B dB s B t B s ds.
s
0 3 0
M´as generalmente, para f x 1 x n 1 se obtiene
n 1
t 1 1 t
n n 1 n 1
B dB s B t nB s ds.
s
0 n 1 2 0
Ejemplo 9.6 Usaremos la f´ormula de Itˆo para encontrar una expresi´on de
los momentos pares de una distribuci´on normal centrada. Demostraremos
que
2n !
n
E B 2n t .
t
n
2 n!
Los momentos impares de dicha distribuci´on se anulan pues ental caso el
integrando resulta ser una funci´on impar. Consideremos entonces la funci´on
2n
f x 1 x ,para cualquier entero natural n. De la f´ormula de Itˆo se sigue
2n
que
1 1 t 1 t
B 2n B 2n B 2n 1 dB s 2n 1 B 2n 2 ds.
2n t 2n 0 0 s 2 0 s
Tomando esperanza y resolviendo de manera iterada se obtiene
2n 2n 1 t
E B 2n E B 2n 2 ds
t
2 0 s
2n 2n 1 2n 2 2n 3 t t 1 2n 4
E B s ds dt 1
2 2 0 0
. .
.
2n ! t t 1 t n 1
dt 1 .
2 n 0 0 0
1 ds d t n 1
No es dif´ıcil verificar que los resultados sucesivos de estasintegrales son:
n
t n 1 , t 2 2!, t 3 3!, ..., t n! De esta forma se obtiene la f´ormula enun-
n 2 n 3
ciada.

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